Rangkuman Matematika Semester 1

RANGKUMAN MATEMATIKA

BAB 1 Bilangan

Mengenal bilangan bulat

Sepanjang bulan Januari 2014, suhu di Eropa berubah secara drastis. Saat siang hari bisa mencapai 10° C (baca 10 derajat Celsius) di atas titik beku (0° C), sedangkan pada malam hari turun hingga 15° C di bawah titik beku. Ungkapan 10 di atas titik beku, dan 15 di bawah titik beku, secara berurutan bisa ditulis sebagai

bilangan bulat “+10” (baca positif sepuluh) dan “−15” (baca negatif lima belas). Untuk bilangan “+10” cukup ditulis “10”. Bilangan bulat dibedakan menjadi tiga bagian, yaitu bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Pada garis bilangan, bilangan bulat positif terletak di kanan bilangan nol. Sedangkan bilangan bulat negatif terletak di kiri nol.

Untuk membandingkan dua bilangan bulat yang mendekati nol (angka penyusun bilangan tersebut sedikit), kalian cukup melihat posisi kedua bilangan tersebut pada garis bilangan. Tentunya hal itu tidak sulit. Bilangan yang lebih besar selalu berada di kanan bilangan yang lebih kecil. Namun untuk membandingkan bilangan-bilangan bulat positif yang sangat besar, atau bilangan-bilangan bulat negatif yang sangat kecil, tentunya tidak efektif menggunakan garis bilangan. Untuk membandingkan bilangan bulat positif yang sangat besar atau bilangan

bulat negatif yang sangat kecil, kalian bisa dengan mengamati angka-angka

penyusunnya. Bilangan tersusun atas angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Bilangan 7 “baca tujuh” tersusun dari angka 7 saja.

Bilangan 12 “baca dua belas” tersusun dari angka 1 dan 2.

Bilangan 123 “baca seratus dua puluh tiga” tersusun dari angka 1, 2, dan 3.

Bilangan 6123987 “baca enam juta seratus dua puluh tiga ribu sembilan ratus

delapan puluh tujuh” tersusun dari angka 1, 2, 3, 6, 7, 8, dan 9.

Angka 6 pada posisi jutaan, bernilai 6 × 1.000.000 = 6.000.000.

Angka 1 pada posisi ratusribuan, bernilai 1 × 100.000 = 100.000.

Angka 2 pada posisi puluhribuan, bernilai 2 × 10.000 = 20.000.

Angka 3 pada posisi ribuan, bernilai 3 × 1.000 = 3.000.

Angka 9 pada posisi ratusan, bernilai 9 × 100 = 900.

Angka 8 pada posisi puluhan, bernilai 8 × 10 = 80.

Angka 7 pada posisi satuan, bernilai 7 × 1 = 1.

Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4. Karena Mia memilik 3 boneka, maka dari titik asal (0) bergerak 3 satuan ke kanan. Kemudian, karena mendapatkan 4 boneka lagi, berarti terus bergerak 4 satuan ke kanan. Sehingga hasil akhirnya adalah 7. Jadi, boneka yang dimiliki Mia sekarang adalah 7 boneka. Selisih antara dua bilangan bulat sama dengan jarak kedua bilangan tersebut pada garis bilangan. Misalnya,

(1) selisih antara 1 dengan 4 adalah 3 satuan,

(2) selisih antara -2 dengan 3 adalah 5 satuan.

Bentuk dari soal tersebut adalah 6 − 2 = ... Awalnya Nia memiliki 6 pasang sepatu, maka bergerak dari titik nol ke kanan 6 satuan. Karena dikurang 2 pasang sepatu, berarti panah berbalik arah ke kiri 2 satuan. Sehingga hasil akhirnya adalah 4. Perhatikan bahwa 6 − 2 sama dengan penjumlahan 6 + (−2). Panah ke kiri menunjukkan arah pengurangan oleh bilangan positif atau penjumlahan dengan bilangan negatif (−). Jadi, banyak sepatu yang dimiliki Nia sekarang adalah 6 − 2 = 4 pasang

Sifat 1: Komutatif

Secara umum, Jika a dan b adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku

a + b = b + a              

Apakah sifat komutatif juga berlaku pada operasi pengurangan? Ternyata tidak. Contohnya bisa kita lihat pada soal nomor 5 dan 6. Pada kedua soal tersebut, susunan bilangan yang dikurangi dan pengurangannya saling berkebalikan. Pada soal nomor 5, hasil pengurangannya adalah .... . Sedangkan pada soal nomor 6, hasil pengurangannya adalah ..... . Ternyata, jika kita cermati hasil keduanya tidak sama. Sehingga dapat kita simpulkan bahwa pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif.

Sifat 2: Asosiatif

Selain sifat komutatif, pada penjumlahan bilangan bulat juga berlaku sifat asosiatif (pengelompokan). Secara umum, jika a, b, dan c adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku

a + (b+c) = (a+b) + c

Perkalian Bilangan Bulat

Pada operasi perkalian juga berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

Untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan, c berlaku

1. Komutatif

a × b = b × a

2. Asosaiatif

(a × b) × c = a × ( b × c)

3. Distributif

Perkalian terhadap penjumlahan

a × (b + c) = a × b + a × c

Perkalian terhadap pengurangan

a × (b − c) = a × b − a × c

BAB 2 Himpunan

Konsep Himpunan

Di dalam kehidupan sehari-hari, kata himpunan ini dipadankan dengan kumpulan, kelompok, grup, atau gerombolan. Dalam biologi misalnya, kita mengenal kelompok flora dan kelompok fauna. Di dalamnya, masih ada lagi kelompok vertebrata, kelompok invertebrata, kelompok dikotil, dan kelompok monokotil. Dalam kehidupan sehari-hari, kalian juga mengenal suku Jawa, suku Madura, suku Sasak, suku Dayak, suku Batak, dan lain-lain. Semua itu merupakan kelompok. Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gerombolan dalam matematika dikenal dengan istilah himpunan. Namun, tidak semua kumpulan termasuk himpunan. Contohnya kumpulan siswa yang pandai, kumpulan siswa yang berbadan tinggi.

Kumpulan yang termasuk himpunan

1. Kumpulan siswa yang lahir pada bulan Agustus

2. Kumpulan siswa laki-laki

3. Kumpulan buah-buahan yang diawali dengan huruf M

4. Kumpulan nama kota di Indonesia yang diawali dengan huruf S

5. Kumpulan binatang yang berkaki dua

6. Kumpulan negara di Asia Tenggara

Kumpulan yang termasuk bukan himpunan

1. Kumpulan kota-kota besar di Indonesia

2. Kumpulan orang kaya di Indonesia

3. Kumpulan siswa yang pandai di sekolahmu

4. Kumpulan gunung yang tinggi di Indonesia

5. Kumpulan pelajaran yang disenangi siswa

6. Kumpulan makanan yang lezat

Penyajian Himpunan

Cara1: Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi)

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya

yang dituliskan dalam kurung kurawal. Manakala banyak anggotanya sangat

banyak, cara mendaftarkan ini biasanya dimodifikasi, yaitu diberi tanda tiga

titik (“…”) dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola”.

Cara 2: Dinyatakan dengan menuliskan sifat yang dimiliki anggotanya

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki

anggotanya.

Cara 3: Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan

himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum {x | P(x)} dimana

x mewakili anggota dari himpunan, dan P(x) menyatakan syarat yang harus

dipenuhi oleh x agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol x bisa

diganti oleh variabel yang lain, seperti y, z, dan lain-lain. Misalnya A = {1, 2,

3, 4, 5} bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan A = {x | x < 6,

dan x ∈ asli}. Lambang {x | x < 6, dan x ∈ asli} ini bisa dibaca sebagai “Himpunan x

sedemikian sehingga x kurang dari 6 dan x adalah elemen bilangan asli}.

Tetapi, jika kita sudah memahami dengan baik, maka lambang ini biasanya

cukup dibaca dengan “Himpunan bilangan asli kurang dari 6”.

Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

Dalam keanggotaan himpunan, ada himpunan ynag tidak memiliki anggota,

yang dinamakan dengan himpunan kosong.

Empat orang siswa (Batara, Simon, Sudraja, dan Marsius) memiliki kesempatan

sama untuk memenangkan suatu hadiah undian. Agar salah satu dari keempat siswa dipilih secara adil menjadi pemenang, maka panitia memberikan satu dari empat pertanyaan tentang himpunan yang tersedia dalam kotak undian. Keempat pertanyaan pada kotak undian itu adalah sebagai berikut

1. Menentukan himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0;

2. Menentukan himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari 0 dan kurang dari 1;

3. Menentukan himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2;

4. Menentukan himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap.

Pemenangnya adalah siswa yang dapat menemukan paling sedikit satu anggota

himpunannya.

Setelah pengundian, Batara mendapatkan pertanyaan nomor 2, Simon  mendapat pertanyaan nomor 3, Sudraja mendapat pertanyaan nomor 1, dan Marsius mendapat pertanyaan nomor 4. Siapakah siswa yang kemungkinan menjadi pemenang? Berikan alasanmu. Perhatikan keempat pertanyaan tersebut. Penyelesaian keempat pertanyaan itu adalah sebagai berikut.

1. Bilangan cacah yang kurang dari 0. Ingat kembali bilangan cacah yang telah kalian pelajari waktu SD? Anggota bilangan cacah yang paling kecil adalah 0, sehingga himpunan yang diperoleh Sudraja adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

2. Bilangan bulat yang lebih dari 0 dan kurang dari 1. Tidak ada satupun bilangan bulat antara 0 dan 1, sehingga himpunan yang diperoleh Batara adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

3. Bilangan ganjil yang habis dibagi 2. Seluruh bilangan ganjil tidak akan habis dibagi dengan 2. Mengapa? Silakan bertanya kepada gurumu sehingga himpunan yang diperoleh Simon adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

4. Bilangan prima yang merupakan bilangan genap.

 Anggota himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap

adalah 2. Dengan demikian, himpunan yang diperoleh Marsius adalah

himpunan yang banyak anggotanya tepat satu, yaitu {2}.

Berdasarkan keterangan tersebut, yang dapat menentukan anggota himpunan

tepat satu adalah Marsius. Dengan demikian Marsius terpilih menjadi

pemenang. Sementara Sudraja, Batara, dan Simon tidak menemukan anggota

himpunan atau disebut dengan himpunan kosong.

Diagram Venn

Cara menyajikan himpunan juga bisa dinyatakan dengan gambar atau diagram

yang disebut dengan Diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar

matematika Inggris bernama John Venn (1834 – 1923). Petunjuk dalam

membuat diagram Venn antara lain:

a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan disudut kiri atas.

b. Setiap himpunan yang ada dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.

c. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik.

d. Bila anggota suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka anggotaanggotanya tidak perlu dituliskan.

Kardinalitas Himpunan

Untuk merayakan hari ulang tahun Pak Zulkarnaen yang ke-50, dia mengajak

istri dan ketiga anaknya makan di restoran. Setelah tiba di restoran mereka

memesan makanan kesukaan masing-masing yang ada daftar menu restoran

tersebut. Pak Zulkarnaen memesan ikan bakar, udang goreng, dan jus alpukat.

Istrinya memesan ikan asam manis, bakso, dan jus terong belanda. Anak

pertama Pak Zulkarnaen memesan ikan bakar, bakso, dan jus alpukat. Anak

kedua memesan bakso dan jus terong belanda. Anak ketiganya memesan mie

goreng dan jus sirsak.

1. Sebutkan anggota-anggota himpunan makanan kesukaan yang dipesan

keluarga Pak Zulkarnaen.

2. Tuliskan seluruh anggota himpunan makanan yang dipesan keluarga Pak

Zulkarnaen.

3. Adakah anggota keluarga Pak Zulkarnaen yang memesan makanan yang

sama? Jika makanan yang sama ditulis sekali, berapa banyak makanan

berbeda yang dipesan oleh keluarga Pak Zulkarnaen?

1. Himpunan makanan kesukaan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen

adalah sebagai berikut.

a. Himpunan makanan kesukaan Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar,

udang goreng, jus alpukat}.

b. Himpunan makanan kesukaan istri Pak Zulkarnaen adalah {ikan asam

manis, bakso, jus terong belanda}.

c. Himpunan makanan kesukaan anak pertama Pak Zulkarnaen adalah

{ikan bakar, bakso, jus alpukat}.

d. Himpunan makanan kesukaan anak kedua Pak Zulkarnaen adalah

{bakso, jus terong belanda}.

e. Himpunan makanan kesukaan anak ketiga Pak Zulkarnaen adalah

{mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah tiga.

Jika kalian perhatikan semua himpunan tersebut, banyak anggota

himpunannya adalah 3.

2. Seluruh makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah ikan

bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong

belanda, ikan bakar, bakso, jus alpukat, bakso, jus terong belanda, mie

goreng, jus sirsak.

3. Jika makanan yang sama dituliskan hanya satu kali, maka himpunan

makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar,

udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda,

mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah 8.

Berdasarkan keterangan di atas, bilangan 3 dan 8 menyatakan banyaknya

anggota dari suatu himpunan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan

banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan

dengan n(A).

Komplemen (Complement)

Gabungan, Irisan, dan Selisih adalah contoh dari operasi biner, yaitu operasi yang memerlukan dua unsur untuk dioperasikan. Selain operasi biner ada operasi uner yang hanya memerlukan satu unsur, yaitu operasi komplemen. Berbeda dengan operasi biner yang semestanya tidak perlu ditetapkan, maka operasi komplemen memerlukan ditetapkannya himpunan semesta. Tanpa himpunan semesta, operasi komplemen ini tidak bisa dilakukan. Sebenarnya operasi komplemen ini mirip dengan operasi selisih, hanya saja yang dicari adalah selisih dari semesta dari himpunan tertentu. Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan.

1. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dinotasikan dengan Ac. Notasi pembentuk himpunan Ac = {x | x ∈ S tetapi x ∉ A}

2. Selisih himpunan B terhadap himpunan A adalah himpunan semua anggota

himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dinotasikan dengan A – B.

Notasi pembentuk himpunan A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} = A ∩ Bc

BAB 3 Bentuk Aljabar

Bu Halimah mempunyai sekeranjang apel. Bu Halimah ingin membagikan apel yang ia miliki tersebut kepada setiap orang yang ia temui. Setengah keranjang ditambah satu apel untuk orang pertama. Kemudian setengah dari sisanya ditambah satu, ia berikan kepada orang kedua yang ia temui. Selanjutnya, setengah dari sisanya ditambah satu, diberikan kepada orang ketiga yang ia temui. Sekarang, Bu Halimah hanya memiliki satu apel untuk ia makan sendiri. Tentukan banyak apel semula. Kalian mungkin bisa memecahkan permasalahan tersebut dengan cara

mencoba-coba dengan suatu bilangan. Namun berapa bilangan yang harus kalian coba, tidak jelas. Cara tersebut terlalu lama, tidak efektif, dan terkesan kebetulan.

Kalian bisa memecahkan persoalan tersebut dengan cara memisalkan banyak apel mula-mula dalam keranjang dengan suatu simbol. Lalu kalian bias membuat bentuk matematisnya untuk memecahkan permasalahan tersebut. Bentuk tersebut selanjutnya disebut dengan bentuk aljabar, dan operasi yang digunakan untuk memecahkan disebut operasi aljabar. Untuk lebih mengenal tentang bentuk dan operasi aljabar, mari mengikuti pembahasan berikut.

Pak Madhuri merupakan seorang pemborong beras yang sukses di desa Dempo

Timur. Pak Madhuri mendapatkan pesanan dari Pedagang pasar Pasean dan

Waru di hari yang bersamaan. Pedagang pasar Pasean memesan 15 karung

beras, sedangkan pedagang pasar Waru memesan 20 karung beras. Beras yang

sekarang tersedia di gudang Pak Madhuri hanya 17 karung beras saja.

Misalkan x adalah massa tiap karung beras. Nyatakan dalam bentuk aljabar:

a. Total beras yang dipesan kepada Pak Madhuri.

b. Sisa beras yang ada di gudang Pak Madhuri jika memenuhi pesanan

pedagang pasar Pasean saja.

c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Madhuri jika memenuhi pesanan

pedagang pasar Waru saja.

a. Total beras yang dipesan kepada Pak Madhuri adalah 15x + 20x atau 35x

kilogram beras.

b. Jika Pak Madhuri memenuhi pesanan pedagang pasar Pasean saja, maka

sisa beras adalah 2 karung beras atau 2x kilogram beras.

c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Madhuri untuk memenuhi

pesanan Pedagang pasar Waru adalah 3 karung beras atau (−3x) kilogram

beras. (tanda negatif menyatakan kekurangan)

Pada cerita pengantar tersebut terdapat operasi antara dua bentuk aljabar,

yaitu:

1. Penjumlahan (15x) + (20x) = 35x

2. Pengurangan (17x) − (15x) = 2x

3. Pengurangan (17x) − (20x) = −3x

Bentuk 17x − 15x bisa juga ditulis penjumlahan dua bentuk aljabar (17x) − (15x)

Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi dan Pak Tohir mempunyai

kebun jeruk berbentuk persegi panjang. Ukuran panjang kebun jeruk Pak Tohir 20 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Sedangkan lebarnya, 15 m kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Jika diketauhi kedua luas kebun Pak Idris dan Pak Tohir adalah sama, maka tentukan luas kebun apel Pak Idris?

Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi dan Pak Tohir mempunyai

kebun jeruk berbentuk persegi panjang. Ukuran panjang kebun jeruk Pak

Tohir 20 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Sedangkan lebarnya,

15 m kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Jika diketauhi kedua luas

kebun Pak Idris dan Pak Tohir adalah sama, maka tentukan luas kebun apel

Pak Idris?

BAB 4 Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan kalimat-kalimat dalam percakapan Toman dan Rizky di atas. Kalimat-kalimat tersebut dapat dikelompokkan ke dalam tiga kelompok sebagai berikut.

1. Kalimat yang tidak dapat dinilai kebenarannya, yaitu:

 Siapakah presiden pertama Republik Indonesia?

 Siapakah pencipta lagu Indonesia Raya?

 Suatu bilangan jika dikalikan dua kemudian dikurangi tiga menghasilkan tujuh.

 Suatu bilangan jika dikalikan oleh dua pertiga kemudian dikurangi oleh dua kalinya dan dikurangi satu sama dengan tujuh.

Kalimat-kalimat tersebut merupakan kalimat yang tidak dapat dinilai

benar atau salah. Mengapa?

2. Kalimat yang bernilai benar

 Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno.

 Lima dikali dua kemudian dikurangi tiga sama dengan tujuh.

3. Kalimat yang bernilai salah

 Pencipta lagu Indonesia Raya adalah Kusbini.

 Enam dikali dua pertiga kemudian dikurangi oleh dua kali enam dan

dikurangi satu hasilnya tujuh.

Kelompok kalimat (2) dan kalimat (3) merupakan kelompok kalimat berita

(deklaratif) yang dapat dinyatakan benar saja atau salah saja dan tidak keduaduanya. Kalimat yang dapat dinyatakan benar saja atau salah saja dan tidak

kedua-duanya disebut dengan kalimat tertutup atau disebut juga pernyataan.

Kalian akan mempelajari lebih lanjut tentang pernyataan dalam Logika

Matematika di tingkat SMA.

bernilai benar saja atau salah saja karena memiliki unsure yang belum diketahui nilainya.

Variabel adalah simbol/lambang yang mewakili sebarang anggota suatu himpunan semesta. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil.